شرح درس معدل التغير والميل — الرياضيات الصف الثالث المتوسط

يربط درس معدل التغير والميل في رياضيات الصف الثالث المتوسط بين سرعة تغيّر الكميات وميل المستقيم؛ فكثير من المواقف الحياتية، كعدد زوّار مدينة ألعاب عبر السنوات، تُفهم أعمق عند حساب معدل تغيّرها.

أهداف الدرس

• أن يحسب الطالب معدل التغير بين نقطتين.
• أن يميّز معدل التغير الثابت من غير الثابت.
• أن يربط ثبات معدل التغير بالدالة الخطية.
• أن يوجد ميل المستقيم من نقطتين معطاتين.

شرح الدرس بأسلوب مبسّط

معدل التغير

معدل التغير بين نقطتين هو نسبة التغير في ص إلى التغير في س. ففي مدينة ألعاب ازداد عدد الزوّار من ٣١٧ ألفًا إلى ٣٢٤ ألفًا خلال سنتين، فمعدل التغير = (٣٢٤ − ٣١٧) ÷ ٢ = ٣٫٥ ألف في السنة. وفي فترة تالية ازداد من ٣٢٤ إلى ٣٢٥ ألفًا خلال سنتين، فالمعدل = ٠٫٥ ألف في السنة، وهو أقل انحدارًا على التمثيل البياني.

الثابت والخطية

يكون معدل التغير للدالة ثابتًا إذا لم تتغير قيمته بين أي نقطتين على تمثيلها، والدوال الخطية لها معدل تغير ثابت. فإذا وجدنا أن معدل التغير بين كل نقطتين متساوٍ استنتجنا أن الدالة خطية، وإلا فليست خطية.

الميل

ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة فرق الصادات إلى فرق السينات عند الانتقال من نقطة إلى أخرى، وهو يصف درجة انحدار المستقيم. فميل المستقيم المار بالنقطتين (١−، ٣) و(٢، ٢−) يساوي (٢− − ٣) ÷ (٢ − (١−)) = ٥/٣−. وبما أن معدل تغير الدالة الخطية ثابت، فيمكن اختيار أي نقطتين على المستقيم غير الرأسي لتحديد ميله، فتكون النتيجة نفسها مهما اختلفت النقطتان، وهذا ما يميّز المستقيم عن المنحنيات الأخرى التي يتغيّر ميلها من موضع لآخر.

مصطلحات الدرس

• معدل التغير: نسبة التغير في ص إلى التغير في س.
• الميل: نسبة فرق الصادات إلى فرق السينات بين نقطتين.
• معدل التغير الثابت: معدل لا تتغير قيمته بين أي نقطتين، ويميّز الدالة الخطية.

أفكار لتقديم الدرس في الفصل

1. قراءة الرسم: يقارن الطلاب ميل جزأين من تمثيل بياني ليحدّدوا أيّ فترة فيها معدل تغير أكبر قبل الحساب.
2. ميل السلالم: اقيسوا ارتفاع درجة سلّم وعمقها لحساب الميل محسوسًا وربطه بفرق الصادات والسينات.
3. تحدّي الميل مع حروف و دروس: افتح لعبة الحروف السداسية في حروف و دروس على الشاشة، وفي كل خلية نقطتان يُطلب ميل المستقيم بينهما، ولا تُحتسب الخلية إلا بعد ذكر النسبة، وتُختم الحصة بجولة «من سيربح المليون».

أخطاء شائعة عند الطلاب

• قسمة فرق السينات على فرق الصادات بعكس ترتيب النسبة.
• إهمال الإشارات السالبة عند طرح الإحداثيات.
• عدّ الدالة خطية رغم أن معدل تغيرها غير ثابت.