شرح درس المتتابعات الحسابية كدوال خطية — الرياضيات الصف الثالث المتوسط

يقدّم درس المتتابعات الحسابية كدوال خطية في رياضيات الصف الثالث المتوسط نمطًا عدديًّا يزيد أو ينقص بمقدار ثابت، ويربطه بالدوال الخطية. فزمن فريق الجري الذي يزيد بمقدار ثابت كلما زادت المسافة مثالٌ على المتتابعة الحسابية.

أهداف الدرس

• أن يتعرّف الطالب المتتابعة الحسابية وأساسها.
• أن يميّز المتتابعة الحسابية من غيرها.
• أن يوجد الحد التالي باستعمال الأساس.
• أن يكتب صيغة الحد النوني ويحسب حدًّا معيّنًا.

شرح الدرس بأسلوب مبسّط

الأساس وتمييز المتتابعة

المتتابعة مجموعة مرتبة من الأعداد يُسمّى كل عدد فيها حدًّا، والمتتابعة الحسابية نمط يزيد أو ينقص بمقدار ثابت يُسمّى الأساس ويرمز له بالرمز د. فالمتتابعة ٤−، ٢−، ٠، ٢ حسابية أساسها ٢ لأن الفرق بين كل حدّيْن متتاليين ثابت، بينما ١، ٤، ٩، ١٦ ليست حسابية لأن الفرق غير ثابت.

الحد التالي

نستعمل الأساس لإيجاد الحد التالي؛ ففي المتتابعة ١٥، ٩، ٣، ٣− الأساس ٦−، فالحدود الثلاثة التالية هي ٩−، ١٥−، ٢١−.

الحد النوني

يُعبَّر عن الحد النوني لمتتابعة حسابية حدها الأول أ١ وأساسها د بالصيغة: أن = أ١ + (ن − ١)د. فالمتتابعة ١٢−، ٨−، ٤−، ٠ أساسها ٤ وحدها الأول ١٢−، فتكون معادلة حدها النوني أن = ١٢− + (ن − ١)٤ = ٤ن − ١٦، ومنها الحد التاسع = ٤×٩ − ١٦ = ٢٠.

المتتابعة الحسابية دالة خطية

عند تمثيل حدود المتتابعة الحسابية بيانيًّا نحصل على نقاط تقع على استقامة واحدة؛ لأن معدل التغير بين كل حدّيْن متتاليين ثابت ويساوي الأساس د، وهو نفسه ميل المستقيم. ولهذا تُعدّ المتتابعة الحسابية دالة خطية منفصلة، إذ تمثّل مواقعُ الحدود المجالَ، وقيمُها المدى، ولا تُوصل النقاط لأن مواقع الحدود أعداد صحيحة موجبة فقط.

مصطلحات الدرس

• المتتابعة الحسابية: نمط عددي يزيد أو ينقص بمقدار ثابت.
• الأساس: الفرق الثابت بين كل حدّيْن متتاليين، ويرمز له بـ د.
• الحد النوني: صيغة عامة تعطي أي حد في المتتابعة بدلالة موقعه ن.

أفكار لتقديم الدرس في الفصل

1. سلالم الأعداد: يبني الطلاب متتابعة من المكعبات تزيد بمقدار ثابت، ويكتشفون الأساس وصيغة الحد النوني.
2. حسابية أم لا: اعرض متتابعات متنوعة، ويصنّفها الطلاب حسابية أو غير حسابية بحساب الفروق.
3. تحدّي المتتابعات مع حروف و دروس: افتح لعبة الحروف السداسية في حروف و دروس على الشاشة، وفي كل خلية متتابعة يُطلب حدّها التالي أو النوني، ولا تُحتسب الخلية إلا بعد ذكر الأساس، وتُختم الحصة بجولة «من سيربح المليون».

أخطاء شائعة عند الطلاب

• عدّ متتابعة غير حسابية حسابية دون التحقق من ثبات الفرق.
• استعمال الأساس بإشارة خاطئة في المتتابعات المتناقصة.
• الخطأ في تعويض ن في صيغة الحد النوني.