شرح درس الدوال لرياضيات الثالث المتوسط: تعريف الدالة، واختبار الخط الرأسي، والدوال المتصلة والمنفصلة، ورمز الدالة وإيجاد قيمها، بأمثلة الكتاب المحلولة بوضوح.
يعرّف درس الدوال في رياضيات الصف الثالث المتوسط نوعًا خاصًّا من العلاقات؛ فالدالة علاقة تربط المدخلات بالمخرجات على أن يكون لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط، مثل العلاقة بين سرعة السيارة ومسافة توقفها.
أهداف الدرس
أن يحدّد الطالب إن كانت العلاقة دالة أم لا.
أن يستعمل اختبار الخط الرأسي على التمثيل البياني.
أن يميّز الدالة المتصلة من الدالة المنفصلة.
أن يوجد قيمة الدالة باستعمال رمز الدالة.
شرح الدرس بأسلوب مبسّط
تعريف الدالة
الدالة علاقة تربط كل عنصر في مجالها بعنصر واحد فقط من المدى. فإذا ارتبطت مدخلة واحدة بمخرجتين مختلفتين لم تكن العلاقة دالة؛ فمثلًا لو ارتبط العنصر ١ بالعنصرين ٤ و٤− فإن العلاقة ليست دالة.
اختبار الخط الرأسي
لمعرفة إن كان تمثيل بياني يمثّل دالة نستعمل اختبار الخط الرأسي: فإذا قطع الخط الرأسي التمثيل في أكثر من نقطة فالعلاقة ليست دالة، وإلا فهي دالة. وتُسمّى الدالة التي تُمثّل بنقاط غير متصلة دالة منفصلة، والتي تُمثّل بخط متصل دالة متصلة؛ فعدد القلاع لكل فريق في مسابقة يمثّل دالة منفصلة لأن النقاط لا تُوصل.
تمثيل الدالة بطرائق متعددة
يمكن تمثيل الدالة بالجدول، وبالمخطط السهمي، وبالمعادلة، وبالتمثيل البياني، فكلها طرائق متكافئة تصف العلاقة نفسها. وتذكّر أن المعادلة تمثيل للعلاقة؛ فإذا كانت العلاقة دالة فإن المعادلة تمثّل دالة أيضًا. فالمعادلة ٣س− + ص = ٨ تمثّل دالة، لأن كل قيمة للمتغير س تقابلها قيمة واحدة فقط للمتغير ص عند تكوين جدول القيم وتمثيله بيانيًّا.
رمز الدالة
تُكتب الدالة برمزها د(س)؛ فالمعادلة ص = ٣س − ٨ تُكتب د(س) = ٣س − ٨. ولإيجاد قيمة الدالة نعوّض عن س بالقيمة المطلوبة؛ فمثلًا د(٤) = ٣×٤ − ٨ = ٤، و د(٠) = ٨−. وهذا الرمز يسهّل التعبير عن مخرجة الدالة عند أي مدخلة دون كتابة المعادلة كاملة في كل مرة.
مصطلحات الدرس
الدالة: علاقة تربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط من المدى.
الدالة المنفصلة: دالة تُمثّل بنقاط غير متصلة.
الدالة المتصلة: دالة تُمثّل بخط أو منحنى دون انقطاع.
أفكار لتقديم الدرس في الفصل
قلم الرصاص الرأسي: يحرّك الطالب قلمًا رأسيًّا فوق تمثيل بياني ليرى هل يقطعه في نقطة واحدة فيكون دالة.
آلة المدخلات والمخرجات: اصنع «آلة دالة» تأخذ مدخلة وتعطي مخرجة واحدة، ويتحقّق الطلاب من شرط الدالة.
تحدّي الدوال مع حروف و دروس: افتح لعبة الحروف السداسية في حروف و دروس على الشاشة، وفي كل خلية علاقة يُطلب الحكم بكونها دالة، ولا تُحتسب الخلية إلا بعد ذكر المبرّر، وتُختم الحصة بجولة «من سيربح المليون».
أخطاء شائعة عند الطلاب
عدّ العلاقة دالة رغم ارتباط مدخلة واحدة بمخرجتين.
وصل نقاط الدالة المنفصلة بخط مع أنها غير متصلة.
الخطأ في التعويض في رمز الدالة عند إيجاد قيمتها.
اختبار درس الدوال: أسئلة تفاعلية وورقة عمل
ورقة عمل — درس الدوال · الرياضيات · الصف الثالث المتوسط الاسم: ............................ الفصل: ........
١. بحسب تعريف الدرس، متى تُعدّ العلاقة التي تربط المدخلات بالمخرجات دالةً صحيحة؟
الدالة تربط كل عنصر في المجال بمخرجة واحدة فقط من المدى.
٢. ما الاختبار الذي يحدّد إن كان التمثيل البياني يمثّل دالة بالنظر إلى تقاطع خط مع المنحنى؟
إذا قطع الخط الرأسي التمثيل في أكثر من نقطة فالعلاقة ليست دالة، وإلا فهي دالة.
٣. ارتبط العنصر ١ في المجال بالعنصرين ٤ و٤− في المدى، فما الحكم الصحيح على هذه العلاقة؟
ارتباط مدخلة واحدة بمخرجتين يخالف شرط الدالة، فالعلاقة ليست دالة.
٤. مثّلت نقاطٌ غير متصلة عددَ القلاع لكل فريق في مسابقة، فأيّ نوع من الدوال تمثّله هذه النقاط؟
النقاط غير المتصلة التي لا تُوصل تمثّل دالة منفصلة.
٥. إذا كانت الدالة معرّفة بالعلاقة د(س) = ٣س − ٨، فما قيمة د(٤)؟
د(٤) = ٣×٤ − ٨ = ١٢ − ٨ = ٤.
٦. في مسابقة بناء القلاع شارك ٥ فرق، فماذا يمثّل مجال الدالة التي تربط رقم الفريق بعدد قلاعه؟
المجال قيم المتغير المستقل، وهي أرقام الفرق من ١ إلى ٥.
٧. إذا كانت الدالة معرّفة بالعلاقة د(س) = ٣س − ٨، فما قيمة د(٠)؟
د(٠) = ٣×٠ − ٨ = ٨-.
مفتاح الإجابة
١) ج ٢) ب ٣) أ ٤) د ٥) ج ٦) ب ٧) أ
راجع الدرس بلعبة حروف في الحصّة
اعرض المنصّة على السبّورة واختر الرياضيات — الصف الثالث المتوسط.
افتح وحدة «دروس المادة» وقسّم الفصل إلى فريقين.
يختار الفريق حرفاً على اللوحة، ويجيب عن سؤالٍ من درس «الدوال».
أعطِ ثلاثين ثانيةً للحلّ على السبّورة الصغيرة، ثم اطلب من الفريق الفائز شرح الخطوات.
بعد الجولة اطبع تقرير الأداء أو ورقة عملٍ من الأسئلة نفسها.
كل دالة علاقة، لكن ليست كل علاقة دالة؛ فالدالة تشترط أن يرتبط كل عنصر في المجال بمخرجة واحدة فقط من المدى، فإن ارتبطت مدخلة بمخرجتين لم تكن دالة.
كيف أستعمل اختبار الخط الرأسي؟
ارسم خطوطًا رأسية على التمثيل البياني؛ فإذا قطع أيٌّ منها المنحنى في أكثر من نقطة فالعلاقة ليست دالة، وإذا قطعه في نقطة واحدة دائمًا فالتمثيل يمثّل دالة.
كيف أستخدم لعبة حروف في درس الدوال؟
افتح المنصّة على السبّورة الذكيّة، اختر الرياضيات الصف الثالث المتوسط ثم وحدة «دروس المادة»، وقسّم الفصل فريقين. يختار الفريق خليّةً بحرفٍ فيظهر سؤالٌ من الدرس، ومن يجب أوّلاً يأخذ الخليّة، والفائز من يصل طرفَي اللوحة.
هل أسئلة درس الدوال مطابقة لكتاب الوزارة؟
نعم، أسئلة حروف و دروس مبنيّة على كتب وزارة التعليم وتمرّ بمراجعة جودة قبل النشر، ويمكن للمعلّم إضافة أسئلته الخاصّة إلى الدرس.
