يفتح درس العلاقات في رياضيات الصف الثالث المتوسط فصل العلاقات والدوال الخطية، حيث يتعلم الطالب أن مجموعة الأزواج المرتبة تُسمّى علاقة، ويمكن وصفها بعدة طرائق: أزواج مرتبة، وجدول، وتمثيل بياني، ومخطط سهمي.
أهداف الدرس
- أن يمثّل الطالب علاقة بطرائق متعددة.
- أن يحدّد المجال والمدى لعلاقة معطاة.
- أن يميّز المتغير المستقل والمتغير التابع.
- أن يحلّل تمثيلًا بيانيًّا لعلاقة من واقع الحياة.
شرح الدرس بأسلوب مبسّط
المجال والمدى
الزوج المرتب يُكتب على الصورة (س، ص)؛ فقيمة س إحداثي سيني وقيمة ص إحداثي صادي. ويُطلق على مجموعة الأعداد الأولى في الأزواج المرتبة اسم المجال، وعلى مجموعة الأعداد الثانية اسم المدى. فمثلًا في العلاقة {(٢، ٥)، (٤، ٣)، (٦، ١)} يكون المجال {٢، ٤، ٦} والمدى {٥، ٣، ١}.
المتغير المستقل والتابع
المتغير الذي يحدّد المخرجات يُسمّى المتغير المستقل، والمتغير الذي تعتمد قيمته عليه يُسمّى المتغير التابع. ففي محل يبيع صورًا تذكارية وكلما زادت المبيعات زاد الدخل، يكون عدد الصور المبيعة متغيرًا مستقلًّا؛ لأنه لا يتأثر بالدخل، والدخل متغيرًا تابعًا؛ لأنه يعتمد على عدد الصور.
طرائق تمثيل العلاقة
يمكن تمثيل العلاقة الواحدة بأربع طرائق متكافئة، ولكل طريقة فائدتها: فالأزواج المرتبة تسرد العلاقة بإيجاز، والجدول يرتّب قيم س في عمود وقيم ص في عمود، والتمثيل البياني يُظهر النمط بين النقاط على المستوى الإحداثي، والمخطط السهمي يوضّح كيف ترتبط عناصر المجال بعناصر المدى بأسهم. فمثلًا العلاقة {(٣، ٢)، (٠، ٣−)، (٢−، ٤)} يكون مجالها {٣، ٠، ٢−} ومداها {٢، ٣−، ٤}، ويمكن عرضها بأيٍّ من هذه الطرائق الأربع.
تحليل التمثيل البياني
يمكن وصف التمثيل البياني لعلاقة؛ فإذا بيّن تمثيل أن المسافة تزداد مع الزمن ثم يصبح الخط أفقيًّا، فهذا يعني أن المتحرّك توقّف في تلك المرحلة ثم تابع، فازدادت المسافة من جديد. وعند قراءة مثل هذه التمثيلات ينظر الطالب إلى اتجاه الخط وميله ليستنتج سلوك الكمية التابعة مع تغيّر الكمية المستقلة دون الحاجة إلى حساب دقيق في كل مرة.
مصطلحات الدرس
- العلاقة: مجموعة من الأزواج المرتبة.
- المجال: مجموعة الإحداثيات السينية في الأزواج المرتبة.
- المدى: مجموعة الإحداثيات الصادية في الأزواج المرتبة.
أفكار لتقديم الدرس في الفصل
- بطاقات الأزواج: يوزّع المعلم بطاقات تحمل أزواجًا مرتبة، ويرتّبها الطلاب في جدول ثم يستخرجون المجال والمدى.
- مستقل أم تابع: اعرض مواقف من الحياة، ويصنّف الطلاب كل كمية إلى متغير مستقل أو تابع مع التبرير.
- تحدّي العلاقات مع حروف و دروس: افتح لعبة الحروف السداسية في حروف و دروس على الشاشة، وفي كل خلية علاقة يُطلب مجالها أو مداها، ولا تُحتسب الخلية إلا بعد تحديدهما، وتُختم الحصة بجولة «من سيربح المليون».
أخطاء شائعة عند الطلاب
- الخلط بين المجال والمدى فيأخذ قيم ص مجالًا.
- تكرار العناصر في الجدول والمخطط مع أنها تُكتب مرة واحدة في المجموعة.
- عكس المتغير المستقل والتابع في المواقف اللفظية.