شرح درس حل المعادلات الخطية بيانيا — الرياضيات الصف الثالث المتوسط

يربط درس حل المعادلات الخطية بيانيًّا في رياضيات الصف الثالث المتوسط بين حل المعادلة الخطية وتمثيلها البياني؛ فبدلًا من الحل الجبري وحده يستطيع الطالب أن يقدّر الحل أو يجده من نقطة تقاطع المستقيم مع محور السينات.

أهداف الدرس

• أن يتعرّف الطالب الدالة المولّدة الأم للدوال الخطية.
• أن يميّز بين جذر المعادلة وصفر الدالة والمقطع السيني.
• أن يحلّ معادلة خطية بيانيًّا وجبريًّا.
• أن يحدّد المعادلات التي ليس لها حل.

شرح الدرس بأسلوب مبسّط

الدالة المولّدة والجذر

الدالة الخطية دالة تُمثَّل بيانيًّا بمستقيم، وأبسطها د(س) = س وتُسمّى الدالة المولّدة (الأم). وجذر المعادلة هو القيمة التي تجعلها صحيحة، وتُسمّى القيم التي تجعل د(س) = ٠ أصفار الدالة، وتقع عند المقطع السيني. فالعدد ٤ هو جذر المعادلة ٢س − ٨ = ٠ وصفر الدالة د(س) = ٢س − ٨ ومقطعها السيني في آن واحد.

الحل الجبري والبياني

لحل المعادلة ثلث س − ٢ = ٠ نضيف ٢ ونضرب في ٣ فيكون س = ٦. ولحل ٣س + ١ = ٢− نعيد كتابتها بحيث يكون طرفها صفرًا: ٣س + ٣ = ٠، فالدالة المرتبطة د(س) = ٣س + ٣ تقطع محور السينات عند ١−، وهو الحل.

خطوات إيجاد الجذر بيانيًّا

لإيجاد جذر معادلة خطية بيانيًّا نعيد كتابتها بحيث يكون طرفها الأيسر صفرًا، ثم نكتب الدالة المرتبطة بها بتعويض د(س) محل الصفر، ونكوّن جدول قيم ونمثّلها بمستقيم. فنقطة تقاطع هذا المستقيم مع محور السينات تعطينا صفر الدالة، وهو في الوقت نفسه جذر المعادلة الأصلية؛ وبهذا يتكامل الحل الجبري مع الحل البياني ويتحقّق أحدهما من الآخر.

معادلات بلا حل

قد لا يكون للمعادلة حل؛ ففي ٣س + ٧ = ٣س + ١ نطرح ٣س من الطرفين فنصل إلى ٠ = ٦ وهي عبارة متناقضة، لذا فالمعادلة ليس لها حل، ولا يقطع تمثيل دالتها المرتبطة محور السينات في أي نقطة.

مصطلحات الدرس

• الدالة المولّدة (الأم): أبسط دالة خطية وهي د(س) = س.
• جذر المعادلة: القيمة التي تجعل المعادلة صحيحة.
• أصفار الدالة: قيم س التي تجعل د(س) = ٠.

أفكار لتقديم الدرس في الفصل

1. صيد الجذر: يمثّل الطلاب الدالة المرتبطة بمعادلة بيانيًّا، ويحدّدون نقطة قطعها لمحور السينات لإيجاد الجذر.
2. جبري أم بياني: حُلّ المعادلة نفسها بالطريقتين الجبرية والبيانية وقارن النتيجتين للتأكد.
3. تحدّي الجذور مع حروف و دروس: افتح لعبة الحروف السداسية في حروف و دروس على الشاشة، وفي كل خلية معادلة خطية يُطلب جذرها، ولا تُحتسب الخلية إلا بعد ذكر المقطع السيني، وتُختم الحصة بجولة «من سيربح المليون».

أخطاء شائعة عند الطلاب

• الخلط بين المقطع السيني والمقطع الصادي عند قراءة الجذر.
• عدم جعل طرف المعادلة صفرًا قبل إيجاد الدالة المرتبطة.
• اعتبار المعادلة المتناقضة لها حل مع أنها بلا حل.