دروس الرياضيات ثلاثية الأبعاد للصف الثاني الثانوي

الرياضيّات في الصفوف الأولى تُبنى على المحسوس: عدٌّ وتجميعٌ وتقسيمٌ ومقارنةٌ بأشياء يلمسها الطالب قبل أن يكتب رموزها. لهذا جمعنا في هذه الصفحة دروس الرياضيات ثلاثيّة الأبعاد للصف الثاني الثانوي في حروف و دروس: ١٤ درساً تفاعليّاً، كلّ درسٍ منها مربوطٌ باسمه في كتاب الوزارة، يحرّكه الطالب بإصبعه أو يعرضه المعلّم على السبّورة، ويعمل مجّاناً في المتصفّح دون تنزيل.

ستجد تحت كلّ درسٍ عنوانه كما في الكتاب، وصورةً من النموذج نفسه، وأبرز ما يخرج به الطالب منه، وزرّاً يفتحه مباشرةً. ومن الدروس هنا: «دائرة الوحدة تُفرَد موجة» و«دوّاسة الدرّاجة: دالة دورية» و«المكبس والعمود المرفقي: دالة دورية».

جرّب أوّل درس الآن ←كلّ دروس مختبر حروف 3D

كيف تستخدم هذه الدروس في الحصّة؟

1. قبل الشرح: افتح النموذج على السبّورة واطرح سؤالاً تنبّؤيّاً: «ماذا تتوقّعون أن يحدث لو…؟»، ودع الطلاب يجيبون قبل أن تحرّك شيئاً.
2. أثناء الشرح: حرّك النموذج خطوةً خطوة مع فقرات الكتاب، وكبّر الجزء الذي تتحدّث عنه؛ فيربط الطالب المصطلح بشكله.
3. بعد الشرح: اطلب من طالبٍ أن يأتي ويحرّك النموذج ويشرح لزملائه ما يرى، أو استعمل وضع «تحدَّ نفسك» إن كان في الدرس.
4. للتقويم: اختم بجولة لعبة حروف التنافسيّة على أسئلة الدرس نفسه.

حساب المثلثات

دائرة الوحدة تُفرَد موجة

الدرس 8-6: الدوال الدائرية (الرياضيات 2-2، الفصل 8: حساب المثلثات، الصفحات ١٩٧–٢١٤)

أدِر النقطة على دائرة الوحدة وشاهد مسقطيها يرسمان موجتي الجيب وجيب التمام، واقرأ الإحداثيين عند الزوايا الخاصة.

• النقطة P تدور على دائرة الوحدة، وإحداثياها هما cos θ وsin θ: x لجيب التمام وy للجيب.
• إذا مددنا حركة P في اتجاه المحور θ صارت لولبًا: من الجانب موجة جيب (أخضر)، ومن الأعلى موجة جيب تمام (أحمر).
• بعد 360° تعود النقطة إلى موضعها فتتكرر القيم؛ لذلك الدالتان دوريتان وطول دورة كلٍّ منهما 360° أو 2π.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

دوّاسة الدرّاجة: دالة دورية

الدرس 8-6: الدوال الدائرية (الرياضيات 2-2، الفصل 8: حساب المثلثات، صفحة ١٩٧)

أدِر الدوّاسة وشاهد ارتفاعها يرسم موجة على شريط الزمن، واقرأ الدورة وأعلى وأدنى ارتفاع.

• ارتفاع قدم البدّال يعلو وينخفض بانتظام كلما دارت الدواسة؛ فهو دالة دورية في الزمن.
• إذا دار البدّال دورة كل ثانية فطول الدورة ثانية واحدة، ويتكرر الارتفاع نفسه كل ثانية.
• عند تسجيل الارتفاع في جدول عند أزمنة متتالية ثم رسمه بيانيًّا ينتج منحنى جيبي.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

المكبس والعمود المرفقي: دالة دورية

الدرس 8-6: الدوال الدائرية (الرياضيات 2-2، الفصل 8: حساب المثلثات، صفحة ٢٠٠)

أدِر العمود المرفقي وشاهد بُعد المكبس يرسم منحنىً دوريّاً، وقارنه بموجة الجيب.

• النقطة R على ذراع المكبس تدور على دائرة الكرنك، فيصعد المكبس وينزل بين أقصر مسافة وأكبر مسافة.
• المسافة d دالة دورية في الزمن، ومنحناها يعلو وينخفض بين قيمتين ثابتتين.
• طول الدورة هو زمن دورة واحدة للكرنك؛ فإذا عرفنا عدد الدورات في الثانية حسبنا طول الدورة.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

المتتابعات والمتسلسلات

مثلّث باسكال ولوح جالتون

الدرس 6-5: نظرية ذات الحدين (الرياضيات 2-2، الفصل 6: المتتابعات والمتسلسلات، صفحة ٩٤)

اسكب الكرات في لوح جالتون وشاهد أعدادها في الحجرات تطابق مثلّث باسكال، واكتشف أنّ معامل كلّ حدٍّ هو عدد المسارات إليه.

• الكرة تسقط على أوتاد وتنحرف في كل صف يمينًا أو يسارًا؛ فعدد المسارات إلى كل حجرة هو العدد المقابل في مثلث باسكال.
• النتائج المتطرفة أندر من المتوازنة لأن مساراتها أقل، وليست بالاحتمال نفسه.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

مكعّب ذات الحدين

الدرس 6-5: نظرية ذات الحدين (الرياضيات 2-2، الفصل 6: المتتابعات والمتسلسلات، صفحة ٩٤)

فكّ مكعّباً طول ضلعه a+b إلى قطعه الثماني وشاهد حدود مفكوك (a+b)³ ومعاملاتها 1 3 3 1.

• الكرة تسقط على أوتاد وتنحرف في كل صف يمينًا أو يسارًا؛ فعدد المسارات إلى كل حجرة هو العدد المقابل في مثلث باسكال.
• النتائج المتطرفة أندر من المتوازنة لأن مساراتها أقل، وليست بالاحتمال نفسه.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

المتسلسلة الهندسيّة اللانهائيّة

الدرس 6-4: المتسلسلات الهندسية اللانهائية (الرياضيات 2-2، الفصل 6: المتتابعات والمتسلسلات، الصفحات ٨٧–٩٠)

ارسم مثلّثات متداخلة بلا نهاية وشاهد مجموع محيطاتها يقترب من سقفٍ لا يتجاوزه، وقارن المتسلسلة المتقاربة بالمتباعدة، ثم أرجوحة سعيد وبندول سعد.

• مجموع عدد لا نهائي من الحدود قد يكون عددًا محدودًا: تصغر الحدود حتى تكاد تختفي فيقترب المجموع من سقف.
• الشرط أن تكون |r| < 1 فتتقارب المتسلسلة؛ أما إذا كانت |r| ≥ 1 فتتباعد ولا يوجد لها مجموع.
• مثال قريب: 8 + 4 + 2 + … نسبتها r = ½ فمجموعها 8 / (1 − ½) = 16.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

مبدأ الاستقراء الرياضيّ: الدومينو

الدرس 6-6: البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي (الرياضيات 2-2، الفصل 6: المتتابعات والمتسلسلات، الصفحات ٩٩–١٠١)

صفٌّ لا ينتهي من قطع الدومينو: ثلاث خطوات تضمن أنّ كلّ قطعة تُسقط التي بعدها، وبرهان الكتاب مكتوب بجانبها، ثم المثال المضادّ والثغرة.

• كصفّ دومينو: يكفي أن تسقط القطعة الأولى وأن تُسقط كل قطعة التي بعدها لتسقط القطع كلها.
• إذا لم تُدفع القطعة الأولى (الخطوة 1) فلن تسقط السلسلة مهما كانت الحلقات متقاربة.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

مجموع المكعّبات: برهان بالمربّعات

الدرس 6-6: البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي (الرياضيات 2-2، الفصل 6: المتتابعات والمتسلسلات، الصفحات ٩٩–١٠١)

فكّك المكعّبات ١³ و٢³ و٣³ إلى طبقات وابنِ بها مربّعاً ضلعه ١+٢+…+n لترى لماذا يساوي مجموع المكعّبات مربّع مجموع الأعداد.

• كصفّ دومينو: يكفي أن تسقط القطعة الأولى وأن تُسقط كل قطعة التي بعدها لتسقط القطع كلها.
• إذا لم تُدفع القطعة الأولى (الخطوة 1) فلن تسقط السلسلة مهما كانت الحلقات متقاربة.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

المتسلسلة الحسابيّة: درج جاوس

الدرس 6-2: المتتابعات والمتسلسلات الحسابية (الرياضيات 2-2، الفصل 6: المتتابعات والمتسلسلات، الصفحات ٧٥–٧٩)

درجٌ من المكعّبات كلّ عمودٍ حدٌّ من المتسلسلة، ونسخةٌ مقلوبة منه تكمل مستطيلاً فتفهم لماذا مجموع الحدود نصف عددها في مجموع الأوّل والأخير.

• كلّ عمودٍ في الدرج حدٌّ من المتسلسلة، وإذا وُضع بجانبه درجٌ مقلوب مثله اكتمل مستطيل.
• عرض المستطيل n وارتفاعه a₁ + aₙ، فمجموع الدرجين n(a₁ + aₙ) والدرج الواحد نصفه: Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ).
• احسب n قبل التعويض: من k = 3 إلى k = 10 يوجد 10 − 3 + 1 = 8 حدود لا 7.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

الاحتمالات

التباديل الدائريّة: منضدة التوابل

الدرس 7-2: الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق (الرياضيات 2-2، الفصل 7: الاحتمالات، الصفحات ١٢٢–١٢٥)

أدِر منضدة التوابل الدوّارة وشاهد خمسة ترتيبات خطّيّة تصير ترتيباً دائريّاً واحداً، واكتشف لماذا عدد التباديل الدائريّة (n − 1)!.

• على صفّ: كل إزاحة تعطي ترتيبًا مختلفًا فنحصل على n! ترتيبًا.
• على منضدة دائرية: تدوير المنضدة n موضعًا يعطي الترتيب نفسه؛ فنقسم n! على n فنحصل على (n − 1)!.
• مثال: خمس علب على منضدة دوّارة لها 4! = 24 ترتيبًا دائريًّا مختلفًا بدل 120.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

الاحتمال الهندسيّ: هدف المظلّيّ

الدرس 7-3: الاحتمال الهندسي (الرياضيات 2-2، الفصل 7: الاحتمالات، صفحة ١٢٩)

أنزل المظلّيّين على الهدف مرّة وعشراً وألفاً، وشاهد نسبة الهبوط في الدائرة الحمراء تقترب من نسبة المساحتين ١/٩، ثم اعرض لماذا لا تكون ١/٣.

• يهبط المظلي عشوائيًّا على هدف دائري: احتمال إصابة الدائرة الداخلية = مساحتها ÷ مساحة الهدف، لا نصف القطر ÷ نصف القطر.
• الحلقات المتساوية العرض لا تتساوى في احتمالها؛ فمساحتها تزداد كلما ابتعدنا عن المركز.
• مع زيادة عدد الهبوط تقترب النسبة التجريبية من النظرية وتستقر حولها.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

القرص ذو المؤشّر الدوّار

الدرس 7-3: الاحتمال الهندسي (الرياضيات 2-2، الفصل 7: الاحتمالات، صفحة ١٢٩)

أدِر القرص مئات المرّات وقارن تكرار كلّ قطاع بقياس زاويته، واحسب احتمال إصابة كلّ لون.

• يهبط المظلي عشوائيًّا على هدف دائري: احتمال إصابة الدائرة الداخلية = مساحتها ÷ مساحة الهدف، لا نصف القطر ÷ نصف القطر.
• الحلقات المتساوية العرض لا تتساوى في احتمالها؛ فمساحتها تزداد كلما ابتعدنا عن المركز.
• مع زيادة عدد الهبوط تقترب النسبة التجريبية من النظرية وتستقر حولها.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

فضاء العيّنة: المؤشّر والقطعة النقديّة والمكعّب

الدرس 7-1: تمثيل فضاء العينة (الرياضيات 2-2، الفصل 7: الاحتمالات، الصفحات ١١٥–١١٨)

ارمِ المؤشّرين وقطعة النقد والمكعّبين رميةً رميةً، وشاهد الشجرة تضيء مسار كلّ رمية وتبيّن أنّ النواتج 2 + 6 + 6 + 6 = 20، ثم اختبر نفسك في عدّ النواتج وشجرة الشطائر.

• الشجرة تُحصي النواتج كلّها: كلّ مسارٍ من الجذر إلى ورقةٍ ناتجٌ واحد، وعدد النواتج هو عدد الأوراق.
• الضرب يصحّ حين يكون لكلّ غصنٍ العدد نفسه من الفروع؛ أمّا إذا اختلفت الفروع فنعدّ ورقات كلّ غصنٍ ثمّ نجمع.
• الرميات القليلة لا تُظهر كلّ النواتج؛ فضاء العيّنة قائمةٌ بما هو ممكن، لا بما ظهر في الرمي.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

احتمال حادثتين غير متنافيتين: مكعّبٌ وشكل فن

الدرس 7-5: احتمالات الحوادث المتنافية (الرياضيات 2-2، الفصل 7: الاحتمالات، صفحة ١٤٣)

ارمِ مكعّباً وأسقط قرصاً برقم الوجه في حلقتي «أكبر من 2» و«زوجي»، وشاهد القرصين 4 و6 يُعدّان مرّتين حتى تطرح التقاطع فيصير الاحتمال 5/6.

• إذا اشترك في الحادثتين ناتجٌ واحد فجمع الاحتمالين يعدّه مرّتين؛ لذلك نطرح احتمال التقاطع مرّةً.
• في شكل فن يرى الطالب المنطقة المشتركة أمامه، فيعرف ما يطرحه بدل أن يحفظ القانون.

افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد ←

دروس ثلاثيّة الأبعاد لصفوفٍ ومواد أخرى

• دروس الرياضيات ثلاثيّة الأبعاد — الصف الأول الابتدائي
• دروس الرياضيات ثلاثيّة الأبعاد — الصف الثاني الابتدائي
• دروس الرياضيات ثلاثيّة الأبعاد — الصف الأول الثانوي
• دروس الفيزياء ثلاثيّة الأبعاد — الصف الثاني الثانوي

أسئلة شائعة

هل دروس الرياضيات ثلاثيّة الأبعاد مجّانيّة؟

نعم، تعمل مجّاناً في المتصفّح على السبّورة الذكيّة والحاسب والجوّال والآيباد، ومن داخل تطبيق حروف و دروس في «مختبر حروف 3D».

هل الدروس مطابقة لكتاب الصف الثاني الثانوي؟

كلّ نموذجٍ مربوطٌ بدرسٍ محدّد في كتاب الوزارة بالاسم والوحدة والصفحات كما يظهر تحت عنوانه، ويظهر أيضاً بجانب الدرس نفسه حين يختار المعلّم الكتاب والفصل في التطبيق.

كيف أعرضها على الطلاب في الفصل؟

اضغط «افتح الدرس ثلاثيّ الأبعاد» تحت أيّ درس، ثم افتحه بملء الشاشة. يمكنك تدوير المشهد وتقريبه باللمس أو الفأرة، وفي كثيرٍ من الدروس ملخّصٌ جاهز وأوضاعٌ متعدّدة تتنقّل بينها أثناء الشرح.

ادخل مختبر حروف 3D ←